若椭圆的中点在坐标原点，焦点在x轴上．过点(1，12)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的面积为25π25π．

Question

若椭圆的中点在坐标原点，焦点在x轴上．过点(1，(1)/(2))作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的面积为

2√(5)π

2√(5)π

．

Answer 1

设点(1，(1)/(2))作圆x²+y²=1的切线的切点为（x₀，y₀）
过切点的半径的斜率为(y0)/(x0)，切线的斜率为(y0−(1)/(2))/(x0−1)
∴(y0)/(x0)×(y0−(1)/(2))/(x0−1)＝−1
 整理得x₀+(1)/(2)y₀=x₀²+y₀²
∵x₀²+y₀²=1
∴x₀+(1)/(2)y₀=1
即y₀=-2x₀+2
代入圆的方程得x₀²+（-2x₀+2）²=1
∴5x₀²-8x₀+3=0
解得x₀=1或x₀=(3)/(5)
∴y₀=0或y₀=(4)/(5)
∴A（1，0），B（(3)/(5)，(4)/(5)）
由两点式求得AB的方程为y=-2x+2
把椭圆上顶点坐标（0，b）代入直线方程得b=2，b²=4
把椭圆右焦点坐标（c，0）代入直线方程得c=1
∴a²=2²+1²=5
∴椭圆方程为(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1
∴椭圆的面积为 πab＝π×√(5)×2=2√(5)π
故答案为：2√(5)π