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在三角形ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知b^2+c^2=a^2+bc.1.求A2.当sinBsinC=3/4是判断三角形ABC的形状.
题目详情
在三角形ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知b^2+c^2=a^2+bc.
1.求A
2.当sinBsinC=3/4是判断三角形ABC的形状.
1.求A
2.当sinBsinC=3/4是判断三角形ABC的形状.
▼优质解答
答案和解析
1.由已知
cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=bc/2bc=1/2
∵A∈(0,π)
∴A=π/3
2.sinB·sinC=sinB·sin(120°-B)
=sinB·(√3/2cosB+1/2sinB)
=√3/4sin2B+(1-cos2B)/4
=1/2sin(2B-30°)+1/4
=3/4
sin(2B-30°)=1
B∈(0°,120°)
2B-30°∈(-30°,210°)
故2B-30°=90°
即B=60°
故此时△ABC为等边三角形.
注:如果楼主学过了积化和差,那么在上面sinBsinC就可以利用积化和差公式,很方便的解决该问题了,但积化和差公式目前在很多省份已经不作要求,要这里采用了比较稳妥的方法,即逐步展开、降幂、再化成一个角的三角函数的形式.
cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=bc/2bc=1/2
∵A∈(0,π)
∴A=π/3
2.sinB·sinC=sinB·sin(120°-B)
=sinB·(√3/2cosB+1/2sinB)
=√3/4sin2B+(1-cos2B)/4
=1/2sin(2B-30°)+1/4
=3/4
sin(2B-30°)=1
B∈(0°,120°)
2B-30°∈(-30°,210°)
故2B-30°=90°
即B=60°
故此时△ABC为等边三角形.
注:如果楼主学过了积化和差,那么在上面sinBsinC就可以利用积化和差公式,很方便的解决该问题了,但积化和差公式目前在很多省份已经不作要求,要这里采用了比较稳妥的方法,即逐步展开、降幂、再化成一个角的三角函数的形式.
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