已知函数f（x）=a+xlnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Question

已知函数f（x）=a+√(x)lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=（√(x)）′lnx+√(x)•(1)/(x)=(√(x)(lnx+2))/(2x)，
令f′（x）>0，解得：x>e^-2，令f′（x）<0，解得：0<x<e^-2，
∴f（x）在（0，e^-2）递减，在（e^-2，+∞）递增；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（e^-2）=a-(2)/(e)，
显然a>(2)/(e)时，f（x）>0，无零点，
a=(2)/(e)时，f（x）=0，有1个零点，
a<(2)/(e)时，f（x）<0，有2个零点．