（2014•湖南二模）设x=a和x=b是函数f（x）=lnx+12x2-（m+2）x的两个极值点，其中a＜b，m∈R．（1）求f（a）+f（b）的取值范围；（2）若m≥e+1e-2（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值

Question

（2014•湖南二模）设x=a和x=b是函数f（x）=lnx+(1)/(2)x²-（m+2）x的两个极值点，其中a＜b，m∈R．
（1）求f（a）+f（b）的取值范围；
（2）若m≥√(e)+(1)/(√(e))-2（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=(1)/(x)+x−(m+2)=(x2−(m+2)x+1)/(x)，
依题意，方程x²-（m+2）x+1=0有两个不等的正根a、b（其中a＜b），
故

(m+2)2−4＞0

m+2＞0

，∴m＞0，
又a+b=m+2，ab=1，
∴f（a）+f（b）=lnab+(1)/(2)(a2+b2)-（m+2）（a+b）
=(1)/(2)[(a+b)2−2ab]-（m+2）（a+b）=-(1)/(2)(m+2)2−1，
∵m＞0，∴-(1)/(2)（m+2）²-1＜-3，
故f（a）+f（b）的取值范围是（-∞，-3）；
（2）当m≥√(e)+(1)/(√(e))-2时，（m+2）²≥e+(1)/(e)+2，
设t=(b)/(a)（t＞1），则（m+2）²=（a+b）²=((a+b)2)/(ab)=t+(1)/(t)+2≥e+(1)/(e)+2，
∴t+

作业帮用户 2017-09-20

问题解析

（1）函数f（x）有两个极值点，即它的导函数有两个不相等的正实数根，转化成二次函数有实根的问题，由韦达定理，利用二次函数的单调性求出f（a）+f（b）的取值范围；
（2）将f（b）-f（a）化简变形，令t=

(b)/(a)，构造关于t的一个函数，再由m≥√(e)+(1)/(√(e))-2求出t的取值范围，求出f（b）-f（a）的最大值．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题是考查了函数的极值，运用了求导，构造函数，等价转化，化归等思想，是一道导数的综合应用题，中等难度．

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