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函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数,e=2.71828…),若∀x∈[0,π2],f(x)≥ax,则实数a的取值范围是()A.(-∞,14]B.(-∞,1e]C.(-∞,12]D.(-∞,1]
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函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数,e=2.71828…),若∀x∈[0,
],f(x)≥ax,则实数a的取值范围是( )π 2
A. (-∞,
]1 4
B. (-∞,
]1 e
C. (-∞,
]1 2
D. (-∞,1]
▼优质解答
答案和解析
令g(x)=f(x)-ax=exsinx-ax,
要使f(x)≥ax总成立,只需x∈[0,
]时g(x)min≥0,
对g(x)求导,可得g'(x)=ex(sinx+cosx)-a,
令h(x)=ex(sinx+cosx),
则h'(x)=2excosx>0,(x∈(0,
))
所以h(x)在[0,
]上为增函数,
所以h(x)∈[1,e
];
对a分类讨论:
①当a≤1时,g'(x)≥0恒成立,
所以g(x)在[0,
]上为增函数,
所以g(x)min=g(0)=0,
即g(x)≥0恒成立;
②当1<a<e
时,g'(x)=0在上有实根x0,
因为h(x)在(0,
)上为增函数,
所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,
所以g(x0)<g(0)=0,不符合题意;
③当a≥e
时,g'(x)≤0恒成立,
所以g(x)在(0,
)上为减函数,
则g(x)<g(0)=0,不符合题意.
综上,可得实数a的取值范围是(-∞,1],
故选:D.
要使f(x)≥ax总成立,只需x∈[0,
π |
2 |
对g(x)求导,可得g'(x)=ex(sinx+cosx)-a,
令h(x)=ex(sinx+cosx),
则h'(x)=2excosx>0,(x∈(0,
π |
2 |
所以h(x)在[0,
π |
2 |
所以h(x)∈[1,e
π |
2 |
对a分类讨论:
①当a≤1时,g'(x)≥0恒成立,
所以g(x)在[0,
π |
2 |
所以g(x)min=g(0)=0,
即g(x)≥0恒成立;
②当1<a<e
π |
2 |
因为h(x)在(0,
π |
2 |
所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,
所以g(x0)<g(0)=0,不符合题意;
③当a≥e
π |
2 |
所以g(x)在(0,
π |
2 |
则g(x)<g(0)=0,不符合题意.
综上,可得实数a的取值范围是(-∞,1],
故选:D.
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