函数f（x）=exsinx（e是自然对数的底数，e=2.71828…），若∀x∈[0，π2]，f（x）≥ax，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，14]B.（-∞，1e]C.（-∞，12]D.（-∞，1]

Question

函数f（x）=e^xsinx（e是自然对数的底数，e=2.71828…），若∀x∈[0，

(π)/(2)]，f（x）≥ax，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-∞，

(1)/(4)]

B. （-∞，

(1)/(e)]

C. （-∞，

(1)/(2)]

D. （-∞，1]

Answer 1

令g（x）=f（x）-ax=e^xsinx-ax，
要使f（x）≥ax总成立，只需x∈[0，(π)/(2)]时g（x）_min≥0，
对g（x）求导，可得g'（x）=e^x（sinx+cosx）-a，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），
则h'（x）=2e^xcosx>0，（x∈（0，(π)/(2)））
所以h（x）在[0，(π)/(2)]上为增函数，
所以h（x）∈[1，e(π)/(2)]；
对a分类讨论：
①当a≤1时，g'（x）≥0恒成立，
所以g（x）在[0，(π)/(2)]上为增函数，
所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②当1<a<e(π)/(2)时，g'（x）=0在上有实根x₀，
因为h（x）在（0，(π)/(2)）上为增函数，
所以当x∈（0，x₀）时，g'（x）<0，
所以g（x₀）<g（0）=0，不符合题意；
③当a≥e(π)/(2)时，g'（x）≤0恒成立，
所以g（x）在（0，(π)/(2)）上为减函数，
则g（x）<g（0）=0，不符合题意．
综上，可得实数a的取值范围是（-∞，1]，
故选：D．