立体几何——空间两条直线在空间四边形ABCD中,各边长均为1,且对角线AC=BD=1,点M、P分别是AD,CD中点,点N,Q分别是△BCD和△ABC的中心,求直线MN与PQ所成角的余弦值.

Question

立体几何——空间两条直线
在空间四边形ABCD中,各边长均为1,且对角线AC=BD=1,点M、P分别是AD,CD中点,点N,Q分别是△BCD和△ABC的中心,求直线MN与PQ所成角的余弦值.

Answer 1

设正四面体ABCD棱长为a,E为棱BC中点,连接AE、DE,则Q、N分别在AE、DE上,且QN//AD.
过Q作QF//MN交AD于F,则MNQF为平行四边形,∠PQF是MN与PQ所成的角.
由于N为底面BCD的中心,AN⊥平面BCD,所以MN为Rt△AND斜边AD上的中线,则MN=1/2AD=a/2.
同理,有PQ=a/2.
又∵MF=NQ=a/3,DF=MF+DM=a/3+a/2=5a/6,
∴在△DFP中,由余弦定理得
FP^2=DP^2+DF^2-2DP×DF×cos∠PDF
=(a/2)^2+(5a/6)^2-2×a/2×5a/6×cos60度
=19a^2/36.
在△PQF中,也由余弦定理得
cos∠PQF=(PQ^2+FQ^2-FP^2)/(2PQ×FQ)
=(PQ^2+MN^2-FP^2)/(2PQ×MN)
=[(a/2)^2+(a/2)^2-(19a^2/36)]/(2×a/2×a/2)
=-1/18.
由于两异面直线所成角为锐角或直角,因此,所求MN与PQ所成角为arccos(1/18).