已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA1与AB的夹角为45°（1）求证：AA1⊥平面A1BC；（2）侧面BB1C1C是矩形；（3）求棱柱的侧面积．

Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，顶点A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁与AB的夹角为45°

（1）求证：AA₁⊥平面A₁BC；
（2）侧面BB₁C₁C是矩形；
（3）求棱柱的侧面积．

Answer 1

（1）如图，∵A₁在底面ABC上的射影O为正△ABC的中心，
∴A₁A=A₁B=A₁C．
    又∵∠A₁AB=45°，
∴∠A₁BA═∠A₁CA═∠A₁AC═45°，
∴∠AA₁B═∠AA₁C═90°，即AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C，
又A₁B∩A₁C═A₁，
∴AA₁⊥平面A₁BC．
（2）连AO并延长交BC于D，由条件知：AD⊥BC，AO为AA₁在底面ABC的射影，
∴AA₁⊥BC．
∵BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥BC，
∴BCC₁B₁是矩形，
（3）在Rt△AA₁B中，AA₁=A₁B=(√(2))/(2)AB，BC=2，
∴S AA1B1B=2S △AA1B=AA₁•ABsin45°=2，S BCC1B1=2√(2)，
∴S_侧=2S AA1B1B+S BCC1B1=4+2√(2)．