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(2014•天津)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F分别是棱AD,PC的中点.(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;(Ⅱ)若二面角P-AD-B为60°,(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;(
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/00e93901213fb80edaf28e6635d12f2eb9389464.jpg)
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(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)若二面角P-AD-B为60°,
(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;
(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连结AC,AC∩BD=H,
∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,
∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,
又∵AB⊂平面PAB,EH⊄平面PAD,∴EH∥平面PAB.
同理可证,FH∥平面PAB.
又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,
∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAB;
(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134400eeacf261f95cad1c85e42.jpg)
∵BA=BD=
,AD=2,PA=PD=
,∴BE=1,PE=2.
又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=
.
∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,
∴PB⊥平面ABD,
∵PB⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;
(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,
∵BA=BD=
,AD=2,∴BD⊥BA,
∴BD,BA,BP两两垂直,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304efc1b4f4bd2c8a786c9175c42.jpg)
以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP,
则有A(0,
,0),B(0,0,0),C(
,-
,0),D(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b751a7252fe1f4134970a5a42.jpg)
∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,
∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,
又∵AB⊂平面PAB,EH⊄平面PAD,∴EH∥平面PAB.
同理可证,FH∥平面PAB.
又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,
∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAB;
(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134400eeacf261f95cad1c85e42.jpg)
∵BA=BD=
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又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=
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∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,
∴PB⊥平面ABD,
∵PB⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;
(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,
∵BA=BD=
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∴BD,BA,BP两两垂直,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304efc1b4f4bd2c8a786c9175c42.jpg)
以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP,
则有A(0,
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作业帮用户
2017-11-11
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