平行线比例线段定理的证明

Question

平行线比例线段定理的证明

Answer 1

简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例.如图,因为AD∥BE∥CF,所以AB：BC=DE：EF；
AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF.也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF.编辑本段说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况.事实上,直线AC和直线DF可以在平行线之间相交,同样有定理成立.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.编辑本段证明思路该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点
　　法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N
　　过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q
　　则四边形AMPD、ANQD均为矩形
　　AM=DP,AN=DQ
　　AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN
　　DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ
　　又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF
　　根据比例的性质：
　　AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
　　∴AB/BC=DE/EF
　　法2：过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.
　　∵ BE∥CF
　　∴△ABM∽△ACN.
　　∴AB/AC=AM/AN
　　∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
　　∴AB/BC=DE/EF
　　法3：连结AE、BD、BF、CE
　　根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE,S△BCE=S△BEF
　　∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
　　根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：
　　AB/BC=DE/EF
　　由更比性质、等比性质得：
　　AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF编辑本段定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例