已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．

Question

已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．

Answer 1

设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB=√(AB2+AE2)=√(5)a，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=（√(5)-1）a，
HB=AB-AH=（3-√(5)）a；
∴AH²=（6-2√(5)）a²，
AB•HB=2a×（3-√(5)）a=（6-2√(5)）a²，
∴AH²=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．