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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2。(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2![]() |
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(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值; (2)证明:平面PDC⊥平面ABCD; (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值 |
▼优质解答
答案和解析
(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形, 所以AD=BC,且AD∥BC, 又因为AD⊥PD, 故∠PAD为异面直线PA与BC所成角, 在Rt△PDA中, ![]() 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为:2。 ![]() (2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥BC, 由于AD⊥PD,CD∩PD=D, 因此AD⊥平面PDC,而AD?平面ABCD, 所以平面PDC⊥平面ABCD。 (3)在平面PDC中,过点P作PE⊥CD于E,连接EB 由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线, 故PE⊥平面ABCD 由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角, 在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2 ![]() 在Rt△PEC中,PE=PCsin30°= ![]() 由AD∥BC,AD⊥平面PDC, 得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC 在Rt△PCB中,PB= ![]() ![]() 在Rt△PEB中,sin∠PBE= ![]() ![]() 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 ![]() |
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