如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点．（Ⅰ）求异面直线DB1与EF所成角的大小；（Ⅱ）求异面直线AD1与EF所成角的大小．

Question

如图，正方体AC₁中，E，F分别是A₁B₁，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线DB₁与EF所成角的大小；
（Ⅱ）求异面直线AD₁与EF所成角的大小．

Answer 1

如图，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz；
设正方体的边长为1，则可确定以下几点坐标：
D（0，0，0），B₁（（1，1，1），E（1，(1)/(2)，1），F((1)/(2)，1，1)，A（1，0，0），D₁（0，0，1）；
∴

DB1

＝(1，1，1)，

EF

＝(−(1)/(2)，(1)/(2)，0)，

AD1

＝(−1，0，1)；
∴（Ⅰ）cos＜

DB1

，

EF

＞=(DB1•EF)/(|DB1||EF|)＝0；
∴向量

DB1

，

EF

的夹角为90°；
∴异面直线DB₁，EF所成角为90°；
（Ⅱ）cos＜

AD1

，

EF

＞=(AD1•EF)/(|AD1||EF|)＝((1)/(2))/(√(2)•√((1)/(2)))＝(1)/(2)；
∴向量

AD1

，

EF

夹角为60°；
∴异面直线AD₁与EF所成角为60°．