在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1-D1EF的体积；（2）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如图）E是棱C₁D₁的中点，F是侧面AA₁D₁D的中心．

（1）求三棱锥A₁-D₁EF的体积；
（2）求EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

Answer 1

（1）VA1−D1EF＝VE−A1D1F＝(1)/(3)•1•1＝(1)/(3)．（6分）（体积公式正确3分）
（2）取A₁D₁的中点G，则FG⊥平面A₁B₁C₁D₁，EF在底面A₁B₁C₁D₁的射影为GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）
在Rt△GEF中tan∠GEF＝(√(2))/(2)，所以EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小是arctan(√(2))/(2)．（12分）