求式子（|x|+1|x|-2）3的展开式中的常数项．

Question

求式子（|x|+(1)/(|x|)-2）³的展开式中的常数项．

Answer 1

解法一：（|x|+(1)/(|x|)-2）³=（|x|+(1)/(|x|)-2）（|x|+(1)/(|x|)-2）（|x|+(1)/(|x|)-2）得到常数项的情况有：
①三个括号中全取-2，得（-2）³；
②一个括号取|x|，一个括号取(1)/(|x|)，一个括号取-2，得C₃¹C₂¹（-2）=-12，
∴常数项为（-2）³+（-12）=-20．
解法二：（|x|+(1)/(|x|)-2）³=（√(|x|)-(1)/(√(|x|))）⁶．
设第r+1项为常数项，
则T_r+1=C₆^r•（-1）^r•（(1)/(|x|)）^r•|x|^6-r=（-1）⁶•C₆^r•|x|^6-2r，得6-2r=0，r=3．
∴T₃₊₁=（-1）³•C₆³=-20．