正方形ABCD中，P为直线BC上的一点，DP的垂直平分线交射线DC于M，交DP于E，交射线AB于N．（1）当点M在CD边上时，如图①，求证：PM-CP=AN；（2）当点M在边延长线上，如图②、图③的位置时，上

Question

正方形ABCD中，P为直线BC上的一点，DP的垂直平分线交射线DC于M，交DP于E，交射线AB于N．
（1）当点M在CD边上时，如图①，求证：PM-CP=AN；
（2）当点M在边延长线上，如图②、图③的位置时，上述结论是否成立？写出你的猜想，不需要证明．

Answer 1

证明：（1）过N作NQ∥AD，则NQ=AD，AN=DQ，

∵MN是PD垂直平分线，
∴DM=PM，
∵∠NMQ+∠MNQ=90°，∠NMQ+∠PDC=90°，
∴∠MNQ=∠PDC，
∵在△MNQ和△PDC中，

∠MQN=∠PCD=90°

NQ=CD

∠MNQ=∠PDC

，
∴△MNQ≌△PDC，（ASA）
∴QM=PC，
∵DM=DQ+QM，
∴PM=AN+PC，即PM-CP=AN；
（2）①M在图②位置时，不成立，新结论为AN=PM+CP；
理由：作MQ∥BF，则AQ=DM，QM=AD=CD，∠QMD=90°，

∵EF是PD垂直平分线，∴DM=PM，
∴PM=AQ，
∵∠NMQ+∠DME=90°，∠DME+∠MDE=90°，
∴∠NMQ=∠MDE，
∵在△NMQ和△PDC中，

∠NMQ=∠MDE

QM=CD

∠MQN=∠DCP=90°

，
∴△NMQ≌△PDC，（ASA）
∴QN=PC，
∵AN=AQ+QN，
∴AN=PM+CP；
②M在图③位置时，成立，
理由：作NQ∥BC，则NQ=AD=CD，AN=DQ，

∵EM是PD的垂直平分线，
∴DM=PM，
∵∠NMD+∠MDE=90°，∠CPD+∠MDE=90°，
∴∠NMD=∠CPD，
∵在△CDP和△EDM中，

∠NMD=∠CPD

∠MQN=∠PCD

CD=NQ

，
∴△CDP≌△EDM，（AAS）
∴QM=CP，
∵DM=QM+DQ，
∴PM=AN+CP，即PM-CP=AN．