设A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3满足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1（1）证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；（2）求S△ABC；

Question

设A，B，C三点对应的复数分别为z₁，z₂，z₃满足z₁+z₂+z₃=0，且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
（1）证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；
（2）求S_△ABC；

Answer 1

（1）∵|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
∴A，B，C三点都在单位圆上
∵A，B，C三点对应的复数分别为z₁，z₂，z₃满足z₁+z₂+z₃=0
∴z₁=-（z₂+z₃）
∴1=z1

.

z1

=（z₂+z₃）（

.

z2

+

.

z3

）=

.

z2

z3+

.

z3

z2=-1，
∴|z₂-z₃|²=（z₂-z₃）（

.

z2

−

.

z3

）=3，
∴|z₂-z₃|=√(3)，
同理可得|z₁-z₂|=|z₁-z₃|=√(3)，
∴△ABC是内接与单位圆的正三角形，
（2）S_△ABC=(1)/(2)|AB|•|AC|sinA
=(1)/(2)•√(3)•√(3)•(√(3))/(2)＝(3√(3))/(4)