已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中各棱长都有为a，底面ABCD是正方形，顶点A1在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O．（1）求证：A1C⊥平面BDD1B1；（2）求平行六面体的体积．

Question

已知平行六面体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中各棱长都有为a，底面ABCD是正方形，顶点A ₁ 在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O．
（1）求证：A ₁ C⊥平面BDD ₁ B ₁ ；
（2）求平行六面体的体积．

Answer 1

考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积 直线与平面垂直的判定
专题：
空间位置关系与距离
分析：
（1）由已知得BD⊥AC，BD⊥A1O，A1C⊥C1C，从而BD⊥A1C，由此能证明A1C⊥平面BDD1B1．（2）由已知得A1O⊥AC，A1O⊥BD，从而A1O⊥平面ABCD，且A1O=2a，S正方形ABCD=a2．由此能求出平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积．

（1）证明：∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1中各棱长都有为a，底面ABCD是正方形，顶点A1在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O，∴BD⊥AC，且BD=AC=A1C1=2a，O是AC中点，A1C=A1A=CC1=a，∴BD⊥A1O，A1C⊥C1C，∴BD⊥平面AA1C，∴BD⊥A1C，又A1C∩C1C=C，∴A1C⊥平面BDD1B1．（2）由（1）知A1O⊥AC，同理A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD，且A1O=2a，S正方形ABCD=a2．∴平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积：V=S正方形ABCD?A1O=a2?2a=2a3．
点评：
本题考查直线与平面垂直的证明，考查平行六面体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．