已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2014？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，

Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n≥2014？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得

S2−S4＝S3−S2

a2+a3+a4＝−18

，即

−a1q2−a1q2＝a1q2

a1q(1+q+q2)＝−18

，
解得

a1＝3

q＝−2

．
故an＝3×(−2)n−1；
（Ⅱ）Sn＝(3[1−(−2)n])/(1−(−2))＝1−(−2)n．
令S_n≥2014，即1-（-2）ⁿ≥2014，也就是（-2）ⁿ≤-2013．
当n为偶数时，上式不成立；
当n为奇数时，由-2ⁿ≤-2013，得2ⁿ≥2013，
∴n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1，k∈N^*，k≥5}．