已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1＝4an−3an−1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn，且对一切n∈N*，都有b1a1+b22a2+…+bnnan

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，an+1＝4an−3an−1(n∈N*且n≥2)．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N^*，都有(b1)/(a1)+(b2)/(2a2)+…+(bn)/(nan)＝2n+1成立，求S_n．

Answer 1

（I）证明：由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）
所以数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列 …（3分）
故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=(2(1−3n−1))/(1−3)+1＝3n−1…（6分）
（II）由 (b1)/(a1)+(b2)/(2a2)+…+(bn)/(nan)＝2n+1可知
当n=1时，(b1)/(a1)＝3，b₁=3，S₁=3
当n≥2时，(bn)/(nan)＝2n+1−(2n−1)＝2，bn＝2n×3n−1…（8分）Sn＝b1+b2+…+bn＝3+2×2×3+2×3×32+…2×n×3n−1
=2（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…n×3^n-1）+1
设x=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1
3x=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ
∴2x=n×3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…3⁰）=n×3n−(3n−1)/(2)Sn＝(n−(1)/(2))×3n+(3)/(2)…（11分）
综上Sn＝(n−(1)/(2))×3n+(3)/(2)，n∈N*…（12分）