如图，已知O(0，0)，E(－，0)，F(，0)，圆F：(x－)2＋y2＝5．动点P满足|PE|＋|PF|＝4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．(Ⅰ)求点P

Question

如图，已知 O (0，0)， E (－ ，0)， F ( ，0)，圆 F ：( x － ) ² ＋ y ² ＝5．动点 P 满足| PE |＋| PF |＝4．以 P 为圆心，| OP |为半径的圆 P 与圆 F 的一个公共点为 Q ．

(Ⅰ) 求点 P 的轨迹方程；(Ⅱ) 求点 Q 到直线 PF 的距离

Answer 1

 (Ⅰ) 由|PE|＋|PF|＝4＞|EF|及椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．设P(x，y)，则点P的轨迹方程＋y2＝1．         ………… 3分  (Ⅱ) 设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，T(x2，y2)，则由题意知，圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x02＋y02． 又Q为圆P与圆F的一个公共点，故 所以(x0－) x1＋y0 y1－1＝0． 同理(x0－) x2＋y0 y2－1＝0． 因此直线QT的方程为(x0－)x＋y0y－1＝0．……6分 连接PF交QT于H，则PF⊥QT．设|QH|＝d (d＞0)，则在直角△QHF中|FH|＝．又，故 |FH|＝．…….10分 在直角△QHF中d＝．所以点Q到直线PF的距离为1．  … 12分