设二元函数f（x，y）在平面R2上二阶连续可微，而且f（x，2x）=x，fx（x，2x）=x2，fxx（x，y）=fyy（x，y），∀（x，y）∈R2，求fy（x，2x），fyy（x，2x）及fxy（x，2x）．

Question

设二元函数f（x，y）在平面R²上二阶连续可微，而且f（x，2x）=x，f_x（x，2x）=x²，f_xx（x，y）=f_yy（x，y），∀（x，y）∈R²，求f_y（x，2x），f_yy（x，2x）及f_xy（x，2x）．

Answer 1

由f（x，2x）=x两边对x求导，得
fx+fy(dy)/(dx)=0，即f_x（x，2x）+2f_y（x，2x）=0
而f_x（x，2x）=x²，
∴f_y（x，2x）=-(1)/(2)x2
∴上式两边继续对x求导，得
f_yx（x，2x）+2f_yy（x，2x）=-x
由已知，得f_xy（x，2x）+2f_yy（x，2x）=-x…①
再次对f_x（x，2x）+2f_y（x，2x）=0两边关于x求导，得
f_xx（x，2x）+2f_xy（x，2x）+2f_yx（x，2x）+4f_yy（x，2x）=0
即4f_xy（x，2x）+5f_yy（x，2x）=0…②
联立①②，得
fyy(x，2x)=-(4)/(3)x，fxy(x，2x)=(5)/(3)x