如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=ab（其中a≥b＞0）．（1）用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O；（保留作图痕迹）（2）求证：△ACD∽△DCB；（

Question

如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=√(ab)（其中a≥b＞0）．
（1）用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O；（保留作图痕迹）
（2）求证：△ACD∽△DCB；
（3）判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（4）试估计代数式a+b和2√(ab)的大小关系，并结合圆的有关知识，利用图形中线段的数量关系说明你的结论的正确性．

Answer 1

（1）已知：线段AB，
求作：⊙O，且以AB为直径；
作法：①分别以A、B为圆心，大于 (1)/(2)AB为半径作弧，交于M、N两点；
②连接MN，交AB于点O；
③以O为圆心，OA长为半径作圆．
结论：⊙O即为所求作的圆．

（2）证明：∵AC•BC=CD²，即 (AC)/(CD)＝(CD)/(BD)；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，

（3）点D在⊙O上；
理由：由题意知：AC•BC=CD²，即 (AC)/(CD)＝(CD)/(BD)；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DAC=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圆周角定理知：点D在⊙O上．

（4）结论：a+b≥2 √(ab)；
由（2）知，点D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2 √(ab)，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2 √(ab)．