已知函数f（x）=2lnx-3x2-11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x2+（2a-13）x+1恒成立，求整数a的最小值．

Question

已知函数f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

（1）∵f′（x）=(2)/(x)-6x-11，f′（1）=-15，f（1）=-14，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-14=-15（x-1），即y=-15x+1；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x-1=2lnx-ax²+（2-2a）x-1，
∴g′（x）=(2)/(x)-2ax+2-2a=(-2ax2+(2-2a)x+2)/(x)．
当a≤0时，∵x>0，∴g′（x）>0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．
又g（1）=-a+2-2a-1=1-3a>0，∴不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1不恒成立；
当a>0时，g′（x）=(-2a(x-(1)/(a))(x+1))/(x)．
令g′（x）=0，得x=(1)/(a)，∴当x∈（0，(1)/(a)）时，g′（x）>0；当x∈（(1)/(a)，+∞）时，g′（x）<0．
因此，g（x）在（0，(1)/(a)）上是增函数，在（(1)/(a)，+∞）上是减函数．
故函数g（x）的最大值为g（(1)/(a)）=2ln(1)/(a)+(1)/(a)-3=(1)/(a)-2lna-3≤0．
令h（a）=(1)/(a)-2lna-3．
则h（a）在（0，+∞）上是减函数，
∵h（1）=-2<0，
∴当a≥1时，h（a）<0，∴整数a的最小值为1．