求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且距原点为1的直线方程．

Question

求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且距原点为1的直线方程．

Answer 1

（解法一）由方程组

x+3y−10＝0

3x−y＝0

解得两条直线的交点为A（1，3）
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0
由点到直线的距离公式可得(|k•0−0+3−k|)/(√(k2+1))=1，解得k=(4)/(3)，
即直线方程为：4x-3y+5=0，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1也符合题意，
故所求直线的方程为：4x-3y+5=0或x=1．
（解法二）：由直线系的知识可设所求直线的方程为：（x+3y-10）+λ（3x-y）=0，
即（1+3λ）x+（3-λ）y-10=0，则(|(1+3λ)•0+(3−λ)•0−10|)/(√((1+3λ)2+(3−λ)2))＝1
解得λ=±3，故所求直线的方程为：4x-3y+5=0或x=1．