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已知x−y+2≥0x+y−4≥02x−y−5≤0求:(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;(Ⅲ)z=2y+1x+1的范围.
题目详情
已知
求:
(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;
(Ⅲ)z=
的范围.
|
(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;
(Ⅲ)z=
2y+1 |
x+1 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,
将点C(7,9)代入z得最大值为21.(红线部分)
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,
过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,
故z的最小值是|MN|2=
.(绿线部分)
(Ⅲ)z=
=2•
的几何意义表示为区域内的动点P(x,y)与定点D(-1,−
)连线斜率的2倍.
由图象可知DA的斜率最小为k=
,DB的斜率最大为k=
,
即
≤k≤
,
即
≤2k≤
,(蓝色线部分)
即z的取值范围是[
,
].
易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,
将点C(7,9)代入z得最大值为21.(红线部分)
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,
过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,
故z的最小值是|MN|2=
9 |
2 |
(Ⅲ)z=
2y+1 |
x+1 |
y+
| ||
x+1 |
1 |
2 |
由图象可知DA的斜率最小为k=
7 |
4 |
3 |
8 |
即
3 |
8 |
7 |
4 |
即
3 |
4 |
7 |
2 |
即z的取值范围是[
3 |
4 |
7 |
2 |
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