设复数z=1+i1-i（i为虚数单位），则C80+C81•z+C82•z2+C83•z3+C84•z4+C85•z5+C86•z6+C87•z7=（）A．16B．15C．16iD．16-i

Question

设复数 z=(1+i)/(1-i) （i为虚数单位），则C ₈ ⁰ +C ₈ ¹ •z+C ₈ ² •z ² +C ₈ ³ •z ³ +C ₈ ⁴ •z ⁴ +C ₈ ⁵ •z ⁵ +C ₈ ⁶ •z ⁶ +C ₈ ⁷ •z ⁷ =（　　）

A．16

B．15

C．16i

D．16-i

Answer 1

∵z= (1+i)/(1-i) =((1+i)(1+i))/((1+i)(1-i)) =i．
∵（1+z） ⁸ =（1+i） ⁸ =C ₈ ⁰ +C ₈ ¹ •z+C ₈ ² •z ² +C ₈ ³ •z ³ +C ₈ ⁴ •z ⁴ +C ₈ ⁵ •z ⁵ +C ₈ ⁶ •z ⁶ +C ₈ ⁷ •z ⁷ +c ₈ ⁸ z ⁸ ．
∴C ₈ ⁰ +C ₈ ¹ •z+C ₈ ² •z ² +C ₈ ³ •z ³ +C ₈ ⁴ •z ⁴ +C ₈ ⁵ •z ⁵ +C ₈ ⁶ •z ⁶ +C ₈ ⁷ •z ⁷
=（1+i） ⁸ -C ₈ ⁸ z ⁸
=（1+i） ⁸ -C ₈ ⁸ i ⁸
=[（1+i） ⁴ ] ² -[（i） ⁴ ] ²
=（-4） ² -1 ² =15．
故选：B．