已知函数f（x）=lnx-mx．（m∈R）（Ⅰ）若m=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e2．

Question

已知函数f（x）=lnx-mx．（m∈R）
（Ⅰ）若m=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂>e²．

Answer 1

（I）m=1时，f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=(1)/(x)-1=(1-x)/(x)，（x>0），
令f′（x）>0，解得：0<x<1，
令f′（x）<0，解得：x>1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（II）不妨设x₁>x₂>0，
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴lnx₁-mx₁=0，lnx₂-mx₂=0，
可得lnx₁+lnx₂=m（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），
要证明x₁ x₂>e²，即证明lnx₁+lnx₂>2，也就是m（x₁+x₂）>2，
因为m=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)，所以即证明：(lnx1-lnx2)/(x1-x2)>(2)/(x1+x2)，
即：ln(x1)/(x2)>(2(1-(x1)/(x2)))/(1+(x1)/(x2))，
令(x1)/(x2)=t，则t>1，于是lnt>(2(t-1))/(t+1)．
令g（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)，t>1，则g′（t）=(1)/(t)-(4)/((t+1)2)=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，
故函数g（t）在（1，+∞）上是增函数，所以g（t）>g（1）=0，
即lnt>(2(t-1))/(t+1)成立．
所以原不等式成立．