（2006•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：（1）按要求填表：n123xn（2）第n个正方

Question

（2006•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：

n	1	2	3
xn

（2）第n个正方形的边长x_n=

((2)/(3))n

((2)/(3))n

；
（3）若m，n，p，q是正整数，且x_m•x_n=x_p•x_q，试判断m，n，p，q的关系．

Answer 1

（1）设第一个正方形的边长是x，则(DE)/(AC)＝(BD)/(AB)＝(x)/(2)，
同理得到(DF)/(BC)＝(AD)/(AB)＝x，
两式相加得到(x)/(2)+x＝1
解得x=(2)/(3)，
同理解得：第二个的边长是(4)/(9)=((2)/(3))2，第三个的边长是(8)/(27)=((2)/(3))3；

n	1	2	3
xn	(2)/(3)	(4)/(9)	(8)/(27)

（2）依此类推，第n个正方形的边长是((2)/(3))n；

（3）∵x_m•x_n=x_p•x_q，∴((2)/(3))m•((2)/(3))n＝((2)/(3))p•((2)/(3))q
∴((2)/(3))m+n＝((2)/(3))p+q
∴m+n=p+q．