如果对一切实数x、y，不等式y4-cos2x≥asinx-9y恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，43]B.[3，+∞）C.[-22，22]D.[-3，3]

Question

如果对一切实数x、y，不等式

(y)/(4)-cos²x≥asinx-(9)/(y)恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. （-∞，

(4)/(3)]

B. [3，+∞）

C. [-2

√(2)，2√(2)]

D. [-3，3]

Answer 1

∀实数x、y，不等式(y)/(4)-cos²x≥asinx-(9)/(y)恒成立⇔(y)/(4)+(9)/(y)≥asinx+1-sin²x恒成立，
令f（y）=(y)/(4)+(9)/(y)，
则asinx+1-sin²x≤f（y）_min，
当y>0时，f（y）=(y)/(4)+(9)/(y)≥2√((y)/(4)•(9)/(y))=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）_min=3；
当y<0时，f（y）=(y)/(4)+(9)/(y)≤-2√((-(y)/(4))•(-(9)/(y)))=-3（当且仅当y=-6时取“=”），f（y）_max=-3，f（y）_min不存在；
综上所述，f（y）_min=3．
所以，asinx+1-sin²x≤3，即asinx-sin²x≤2恒成立．
①若sinx>0，a≤sinx+(2)/(sinx)恒成立，令sinx=t，则0<t≤1，再令g（t）=t+(2)/(t)（0<t≤1），则a≤g（t）_min．
由于g′（t）=1-(2)/(t2)<0，
所以，g（t）=t+(2)/(t)在区间（0，]上单调递减，
因此，g（t）_min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx<0，则a≥sinx+(2)/(sinx)恒成立，同理可得a≥-3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
综合①②③，-3≤a≤3．
故选：D．