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(2010•黄浦区一模)已知a、b∈R,向量e1=(x,1),e2=(-1,b-x),函数f(x)=a-1e1e2是偶函数.(1)求b的值;(2)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得y=f(x)在区间[m,n]上
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(2010•黄浦区一模)已知a、b∈R,向量
=(x,1),
=(-1,b-x),函数f(x)=a-
是偶函数.
(1)求b的值;
(2)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],求实数a的取值范围.
e1 |
e2 |
1 | ||||
|
(1)求b的值;
(2)若在函数定义域内总存在区间[m,n](m<n),使得y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
解(1)由已知可得,f(x)=a−
,且函数的定义域为D=(−∞,
)∪(
,+∞).
又y=f(x)是偶函数,故定义域D关于原点对称.
于是,b=0.
又对任意x∈D有f(x)=f(-x)
因此所求实数b=0.
(2)由(1)可知,f(x)=a−
(D=(-∞,0)∪(0,+∞).
考察函数f(x)=a−
的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上增函数.
f(x)在区间(-∞,0)上减函数
因y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],故必有m,n同号.
①当0<m<n时,f(x)在 区间[m,n]上是增函数有
,即方程x=a−
,也就是2x2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根,因此
,解得a>
.
②当m<n<0时,f(x)区间[m,n]上是减函数有
1 |
|2x−b| |
b |
2 |
b |
2 |
又y=f(x)是偶函数,故定义域D关于原点对称.
于是,b=0.
又对任意x∈D有f(x)=f(-x)
因此所求实数b=0.
(2)由(1)可知,f(x)=a−
1 |
|2x| |
考察函数f(x)=a−
1 |
|2x| |
f(x)在区间(-∞,0)上减函数
因y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],故必有m,n同号.
①当0<m<n时,f(x)在 区间[m,n]上是增函数有
|
1 |
2x |
|
2 |
②当m<n<0时,f(x)区间[m,n]上是减函数有
作业帮用户
2016-11-19
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