已知函数f（x）=x2ex-b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（-∞，0]，都有f（x1）-f（x2）≤4e2；（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．

Question

已知函数f（x）=x²e^x-b，其中b∈R．
（Ⅰ）证明：对于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤(4)/(e2)；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0则x₁=0，或x₂=-2，
f′（x）=x（x+2）e^x，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函数	极大值	减函数

∴f（x）在区间（-∞，0]上的最大值为；f（-2）=(4)/(e2)-b，
∵x∈（-∞，0]，∴f（x）=x²e^x-b≥-b，
∴f（x）的最小值为：-b，
∴对于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_最大值-f（x）≤(4)/(e2)；
（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e^x，函数f（x）=x²e^x-b，
当b<0时，函数f（x）=x²e^x-b>0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0
当b=0时，函数f（x）=x²e^x，函数f（x）的零点个数为：1
当b=(4)/(e2)时，函数f（x）的零点个数为；2，
 当0<b<(4)/(e2)时，函数f（x）的零点个数为：3，
当b>(4)/(e2)时，函数f（x）的零点个数为：1，