∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的,怎么算?不能直接把x^2+y^2=4带进去提出来然后直接算区域的体积吗?

Question

∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的,怎么算?
不能直接把x^2+y^2=4带进去提出来然后直接算区域的体积吗?

Answer 1

∵积分空间区域是由x^2+y^2=z,z=4围成的
∴此空间区域投影到xy平面的区域是S：x²+y²=4
于是,作柱面坐标变换：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z (0≤θ≤2π,0≤r≤2,r²≤z≤4)
故∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=∫dθ∫dr∫r²*rdz
=2π∫r³(4-r²)dr
=2π∫(4r³-r^5)dr
=2π(2^4-2^6/6)
=2π(16/3)
=32π/3.