已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．

Question

已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）过点P（1，-1），
∴-1=ln1-m，∴m=1，
∴f（x）=lnx-x，
f′(x)＝(1)/(x)−1，
f'（1）=0，
∴过点P（1，-1）的切线方程为y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
即lnx-mx≤0恒成立，
∴mx≥lnx，
又∵f（x）定义域为（0，+∞），
∴m≥(lnx)/(x)恒成立；
设g(x)＝(lnx)/(x)，
∵g′(x)＝(1−lnx)/(x2)，
∴当x=e时，g'（e）=0
当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，
∴g(x)max＝g(e)＝(1)/(e)，
∴当m≥(1)/(e)时，f（x）≤0恒成立．
（3）∵f′(x)＝(1)/(x)−m＝(1−mx)/(x)，
①当m≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，
∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me；
②当(1)/(e)≤m≤1，即1≤(1)/(m)≤e时，
当x∈(0，(1)/(m))时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数，
当x∈((1)/(m)，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f(x)max＝f((1)/(m))＝−lnm−1；
③当m＞1时，即0＜(1)/(m)＜1，f(x)在((1)/(m)，+∞)为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m；
④当0＜m＜(1)/(e)，即(1)/(m)＞e时，
f（x）在(0，(1)/(m))为单增函数，
∴x∈[1，e]时，f（x）_max=f（e）=1-me；
综上所述，
当m＜(1)/(e)时，f（x）_max=f（e）=1-me，
当(1)/(e)≤m≤1时，f(x)max＝f((1)/(m))＝−lnm−1
当m＞1时，f（x）_max=f（1）=-m．