已知向量a+3b,a-4b分别于7a-5b,7a-2b垂直,且|a|≠0,|b|≠0.则a与b的夹角为?

Question

已知向量a+3b,a-4b分别于7a-5b,7a-2b垂直,且|a|≠0,|b|≠0.则a与b的夹角为?

Answer 1

π/3
(a+3b)*(7a-5b)=0 和 (a-4b)*(7a-2b)=0
7a^2+16ab-15b^2=0 和 7a^2-30ab+8b^2=0
ab=(15b^2-7a^2)/16=(7a^2+8b^2)/30,
整理后可得a(模)=b(模),
再带入7a^2+16ab-15b^2=0 或 7a^2-30ab+8b^2=0任意一个,比如带入7a^2+16ab-15b^2=0中,
可得向量a*向量b=a^2/2=abcosx=a^2cosx,
故cosx=1/2,夹角x=派/3