如图，Rt△ABO的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，点A刚好落在双曲线y=48x上．（1）求点A的坐标；（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A

Question

如图，Rt△ABO的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，点A刚好落在双曲线y=(48)/(x)上．
（1）求点A的坐标；
（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A对应点记为A′，点B的对应点记为B′；
（3）试在x轴上确定点P的坐标，使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似，写出计算过程．

Answer 1

（1）∵AB：BO=3：4，且OB=x_A，AB=y_A，
∴y_A=3k，x_A=4k，
∵点A在双曲线y=(48)/(x)上，
∴12k²=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴x_A=8，y_A=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）

（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，

要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需(A′B′)/(AB)=(B′P)/(OB)或(A′B′)/(BO)=(B′P)/(AB)，
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当(A′B′)/(AB)=(B′P)/(OB)时，(3)/(6)=(B′P)/(8)，
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当(A′B′)/(BO)=(B′P)/(AB)时，(3)/(8)=(B′P)/(6)，
解得：B'P=(9)/(4)，
则|x_P-x_B'|=(9)/(4)，即|x_P-4|=(9)/(4)，
解得：x_P=(7)/(4)或x_P=(25)/(4)，
则点P的坐标为（(7)/(4)，0）或（(25)/(4)，0），
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（(7)/(4)，0）或（(25)/(4)，0）可使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似．