二元函数z=z（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．以上都不是

Question

二元函数z=z（x，y）在点（x₀，y₀）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的（　　）

A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．以上都不是

Answer 1

由于二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量
△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=[f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）]+[f（x，y+△y）-f（x，y）]…①
①式第一个函数可以看成是x的一元函数f（x，y+△y）的增量，应用拉格朗日中值定理，得
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=f_x（x+θ₁△x，y+△y）△x，其中0＜θ₁＜1
又由于f_x（x，y）在点（x，y）处连续，因此上式可写为
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=f_x（x，y）△x+α△x…②
其中α为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，α趋于0
同理，①式的第二函数也可以写成
f（x，y+△y）-f（x，y）=f_y（x，y）△y+β△y…③
其中β为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，β趋于0
由②和③式，可知
△z=f_x（x，y）△x+f_y（x，y）△y+α△x+β△y
即

lim

ρ→0

(△z−[fx(x，y)△x+fy(x，y)△y])/(ρ)＝

lim

ρ→0

(α△x+β△y)/(ρ)＝0
即z=f（x，y）在该点可微
但函数z=z（x，y）在点（x₀，y₀）处可微其一阶偏导数不一定连续
如f(x，y)＝

(x2+y2)sin(1)/(x2+y2)	，(x，y)≠(0，0)
0	，(x，y)＝(0，0)

容易求得，f_x（0，0）=f_y（0，0）=0
且（x，y）≠（0，0）时，
fx(x，y)＝2xsin(1)/(x2+y2)−(2x)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)
fy(x，y)＝2ysin(1)/(x2+y2)−(2y)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)
由于

lim

ρ→0

(△f−fx(0，0)△x−fy(0，0)△y)/(ρ)=

lim

ρ→0

ρsin(1)/(ρ2)＝0
故f（x，y）在（0，0）可微
而

lim

(x，y)→(0，0)

(2x)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)和

lim

(x，y)→(0，0)

(2y)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)都不存在，
因此，

lim

(x，y)→(0，0)

fx(x，y)和

lim

(x，y)→(0，0)

fy(x，y)不存在
即一阶偏导数在（0，0）不连续
故二元函数z=f（x，y）的两个偏导数(∂z)/(∂x)，(∂z)/(∂y)在点（x，y）处连续是z=f（x，y）在该点可微的充分条件．