如图，已知在四边形ABCD中．∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB+AD=2AE．

Question

如图，已知在四边形ABCD中．∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB+AD=2AE．

Answer 1

证明：如图，

过C作CF⊥AD的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
在△AFC和△AEC中，

∠FAC=∠EAC

∠DFC=∠CEB

AC=AC

，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDC=∠EBC，
在△FDC和△EBC中，

∠FDC=∠EBC

∠DFC=∠BEC

CF=CE

，
∴△FDC≌△EBC，
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，
∴AB+AD=2AE．