如图，设D，E及F分别是△ABC的边AB，BC及CA的中点，∠BDC及∠ADC的角平分线分别交BC及AC于点M，N，直线MN交CD于点O．设EO及FO分别交AC及BC于点P及Q，求证：CD=PQ．

Question

如图，设D，E及F分别是△ABC的边AB，BC及CA的中点，∠BDC及∠ADC的角平分线分别交BC及AC于点M，N，直线MN交CD于点O．设EO及FO分别交AC及BC于点P及Q，求证：CD=PQ．

Answer 1

证明：如图：

∵DN平分∠ADC，
∴(CN)/(AN)=(CD)/(AD)，
同理(CM)/(BM)=(CD)/(BD)，
∵BD=AD，
∴(CN)/(AN)=(CM)/(BM)，
∴MN∥AB，
∴(ON)/(AD)=(CO)/(CD)=(OM)/(BD)，
∴ON=OM，
∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF∥AB，EF=AD=BD，
∴EF∥MN，
∴(ON)/(EF)=(OP)/(PE)，(OM)/(EF)=(OQ)/(FQ)，
∴(PO)/(PE)=(QO)/(QF)，
∴PQ∥EF∥MN∥AB，
过点C作CG∥AB交DM的延长线于点G，如图，
∴∠CGD=∠GDB，
∵∠CDG=∠GDB，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CD=CG，
∵(OM)/(CG)=(OD)/(CD)，(OM)/(BD)=(OC)/(CD)，
∴(OM)/(CG)+(OM)/(BD)=(OD)/(CD)+(OC)/(CD)=(CD)/(CD)=1，
又∵(ON)/(EF)=(PN)/(PF)，(ON)/(PQ)=(FN)/(FP)
∴(ON)/(EF)+(ON)/(PQ)=(PN)/(PF)+(NF)/(PF)=(PF)/(PF)=1，
∵OM=ON，EF=BD，
∴CG=PQ，
∵CG=CD，
∴CD=PQ．