如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中点。（1）求证：截面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）若AA1=A1B1，且F是AC中点，求直线EF与面A1EC所成角的大小。

Question

如图，在正三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，E是BB ₁ 的中点。

（1）求证：截面A ₁ EC⊥平面ACC ₁ A ₁ ；
（2）若AA ₁ =A ₁ B ₁ ，且F是AC中点，求直线EF与面A ₁ EC所成角的大小。

Answer 1

（1 ）证明：作EG⊥A ₁ C于G      
∵E是BB ₁ 的中点，且A ₁ B ₁ =BC      
∴EA ₁ =EC   
∴G是A ₁ C的中点   
又连结AC ₁ ，则G是AC ₁ 的中点      
又连结EA，EC ₁ ，则EG⊥AC ₁      
又∵        
∴EG⊥平面ACC ₁ A ₁ ， 截面A ₁ EC      
∴截面A ₁ EC⊥平面ACC ₁ A ₁
（2）以AC的中O为坐标原点，建立如图所示的坐标系
不妨设 AA ₁ =A ₁ B ₁ = 2
则       
则
设面A ₁ EC的法向量
由
设 EF 与面 A ₁ EC 所成的角为θ
则         
∴EF与面A ₁ EC所成的角的大小为 。