把一只乒乓球从胸前的某个高度释放，落到坚硬的水泥地上，反弹后可以达到接近胸前释放时的高度，但无论如何是不会超过这个高度的．同样取一只刚性很好的金属球，从相同高度释放，

Question

把一只乒乓球从胸前的某个高度释放，落到坚硬的水泥地上，反弹后可以达到接近胸前释放时的高度，但无论如何是不会超过这个高度的．同样取一只刚性很好的金属球，从相同高度释放，反弹后也不会跳得更高，这是由能量守恒定律决定的．如果如图所示那样，把乒乓球放在金属球上面，让它们从原来高度落下，落地反弹以后，乒乓球会跳多高呢？也许你会感到吃惊，乒乓球比单独下落跳得更高．这就是著名的超级球问题！
若二球从高处释放时球心连线处于竖直方向，且金属球与地、球与球之间的相互作用均可看作是弹性的．则请结合所学的物理知识通过必要的计算，求出此时乒乓球能跳的高度大约是原高度的多少倍？
提示：
（1）可认为金属球质量远大于乒乓球质量；
（2）两球在运动过程中均忽略空气阻力．

Answer 1

设金属球、乒乓球质量分别为M、m，球从离地高度h处下落，落地时速度大小为v，则由机械能守恒可知，单个球下落后经地面反弹后仍回到高h处，
且有 v²=2gh  ①
当两球一起下落后，金属球与地面发生碰撞后以等大速率与乒乓球发生相互作用，设相互作用后金属球、乒乓球的速度分别为v₁、v₂，则
  由动量守恒，有 Mv-mv=Mv₁+mv₁  ②
由题中已知条件可知，机械能守恒，则有：(1)/(2)Mv2+(1)/(2)mv2=(1)/(2)M

v

2 1

+(1)/(2)m

v

2 2

 ③
联立②③解之得，二球相互作用后乒乓球速度为：
v₂=(3M−m)/(M+m)v≈3v （∵M＞＞m） ④
设乒乓球与金属球发生相互作用后上升的最大高度为H，则有
 

v

2 2

=2gH  ⑤
联立①④⑤解之得：H=9h
即二球一起下落后乒乓球能跳的高度大约是原来高度的9倍．
答：二球一起下落后乒乓球能跳的高度大约是原来高度的9倍．