已知函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*）且a1，a2，…，an构成一个数列，又f（1）=n2（1）求数列{an}的通项公式；（2）比较f（13）与1的大小．

Question

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）且a₁，a₂，…，a_n构成一个数列，又f（1）=n²
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）比较f（(1)/(3)）与1的大小．

Answer 1

（1）f（1）=n²
得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²  ①
当n≥2时a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²  ②
①-②得a_n=n²-（n-1）²=2n-1
又在①中令n=1得出a₁=1，也适合上式
所以数列{a_n} 的通项公式a_n=2n-1．
（2）f（(1)/(3)）=（(1)/(3)）+3（(1)/(3)）²+5（(1)/(3)）³+…+（2n-1）（(1)/(3)）ⁿ，
两边都乘以(1)/(3)，可得(1)/(3)f（(1)/(3)）=（(1)/(3)）²+3（(1)/(3)）³+5（(1)/(3)）⁴+…+（2n-1）（(1)/(3)）ⁿ⁺¹，
两式相减，得 (2)/(3)f（(1)/(3)）=（(1)/(3)）+2（(1)/(3)）²+2（(1)/(3)）³+…+2（(1)/(3)）ⁿ…-（2n-1）（(1)/(3)）ⁿ⁺¹，
=(1)/(3)+((2)/(9)[1−((1)/(3))n−1])/(1−(1)/(3))-（2n-1）（(1)/(3)）ⁿ⁺¹，
=(2)/(3)−((1)/(3))n•(2n+2)/(3)
则f（

作业帮用户 2016-11-21 举报

问题解析

（1）f（1）=n²，得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，当n≥2时a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²，两式相减求通项即可．
（2）由（1）应得出f（(1)/(3)）=（(1)/(3)）+3（(1)/(3)）²+5（(1)/(3)）³+…+（2n-1）（(1)/(3)）ⁿ，将f（(1)/(3)）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求出，再与1比较．

名师点评

本题考点：

数列递推式；数列的求和．

考点点评：

本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；考查构造、变形、计算、推理论证能力．

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