如图，已知三棱锥A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若CD=3，AC=10，求点C到平面DEF的距离．

Question

如图，已知三棱锥A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若CD=3，AC=10，求点C到平面DEF的距离．

Answer 1

（1）∵△BEC为正三角形，F为BC中点，
∴EF⊥BC，∵EF∥AB，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD                  …（3分）
∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD                                   …（6分）
（2）设点C到平面DEF的距离为h，
∵AC=10，BE=BC=5，∴AB=2EF=5√(3)，
在Rt△BDC中，∵F为BC中点，∴DF=(1)/(2)BC＝(5)/(2)，∴S△EFD＝(1)/(2)DF•EF＝(25√(3))/(8)
∴VC−EFD＝(1)/(3)S△EFD•h＝(25√(3)h)/(24)                   …（8分）
∵CD=3，BC=5，BD=4，∴S△DFC＝(1)/(2)S△DBC=3．
∴VE−CFD＝(1)/(3)S△CFD•EF＝(5√(3))/(2)                     …（10分）
V_C-EFD=V_E-CFD∴h＝(12)/(5)
∴点C到平面DEF的距离为(12)/(5)．…（12分）