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如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外做等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不变,请用
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如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外做等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F
(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;
(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),找出EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论.
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(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;
(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),找出EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论.
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▼优质解答
答案和解析
(1) 连接BF,在FE上截取FH=BF,连接BH,
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∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AC=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,
∴∠FBH=∠EBA=60°,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
,
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,∠BEH=∠BAF,
∴∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AFB=120°,∠BFD=60°,∠FBD=30°,
∴BF=2DF=6,
∴HF=BF=6,
∴EF=EH+HF=16.
(2)补全的图如图所示,结论:EF=AF+2DF.理由如下:
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连接BF,在FE上截取FH=BF,连接BH,
∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AC=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,
∴∠FBH=∠EBA=60°,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
,
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF,∠BEH=∠BAF,
∴∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AFB=120°,∠BFD=60°,∠FBD=30°,
∴BF=2DF
∴EF=EH+HF=AF+BF=AF+2DF.
∴EF=AF+2DF.
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∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
|
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AC=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,
∴∠FBH=∠EBA=60°,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
|
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,∠BEH=∠BAF,
∴∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AFB=120°,∠BFD=60°,∠FBD=30°,
∴BF=2DF=6,
∴HF=BF=6,
∴EF=EH+HF=16.
(2)补全的图如图所示,结论:EF=AF+2DF.理由如下:
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连接BF,在FE上截取FH=BF,连接BH,
∵AB=AC,AD是BC中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
|
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AC=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH为等边三角形,
∴∠FBH=∠EBA=60°,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
|
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF,∠BEH=∠BAF,
∴∠AFE=∠ABE=60°,
∴∠AFB=120°,∠BFD=60°,∠FBD=30°,
∴BF=2DF
∴EF=EH+HF=AF+BF=AF+2DF.
∴EF=AF+2DF.
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