如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△ECF(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Question

如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．

(1)求证：△ABF≌△ECF

(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

　　证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABF＝∠ECF．

　　∵EC＝DC，∴AB＝EC．

　　在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

　　∴⊿ABF≌⊿ECF．

　　(2)解法一：∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF＝EF，BF＝CF．

　　∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC．

　　∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB．

　　∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC．∴口ABEC是矩形．

　　解法二：∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．

　　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE．

　　又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE，

　　∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC．∴∠D＝∠FEC．∴AE＝AD．

　　又∵CE＝DC，∴AC⊥DE．即∠ACE＝90°．∴口ABEC是矩形．