如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,AD垂直BC,垂足是D,AE平分角BAD,交BC于点E,在三角形外有一点F,使FA垂直AE,FC垂直BC（1）求证BE=CF(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME求证：1.DE=DN2.ME垂直BC

Question

如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,AD垂直BC,垂足是D,AE平分角BAD,交BC于点E,在三角形外有一点F,使FA
垂直AE,FC垂直BC
（1）求证BE=CF
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME
求证：1.DE=DN
2.ME垂直BC

Answer 1

（1）如图,∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.
（2）①如图,过E点作EG⊥AB于点G,
∵∠B=45°,∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG,∠3=45°.
∵BM=2DE,∴BM=2BG,即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC,∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5,∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC,∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°,∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.