早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

阅读下面的材料:小明遇到一个问题:如图(1),在▱ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.如果AFEF=3,求CDCG的值.他的做法是:过点E作EH∥AB交BG于点H,

题目详情
阅读下面的材料:
小明遇到一个问题:如图(1),在▱ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.如果
AF
EF
=3,求
CD
CG
的值.
他的做法是:过点E作EH∥AB交BG于点H,则可以得到△BAF∽△HEF.请你回答:
(1)AB和EH的数量关系为______,CG和EH的数量关系为______,
CD
CG
的值为
3
2
3
2

(2)如图(2),在原题的其他条件不变的情况下,如果
AF
EF
=a(a>0),那么
CD
CG
的值为
m
2
m
2
(用含a的代数式表示).
(3)请你参考小明的方法继续探究:如图(3),在四边形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F.如果
AB
CD
=m,
BC
BE
=n(m>0,n>0),那么
AF
EF
的值为______(用含m,n的代数式表示).
▼优质解答
答案和解析
(1)依题意,过点E作EH∥AB交BG于点H,如右图1所示.
则有△ABF∽△EHF,
AB
EH
=
AF
EF
=3,∴AB=3EH.
∵▱ABCD,EH∥AB,∴EH∥CD,
又∵E为BC中点,∴EH为△BCG的中位线,∴CG=2EH.
CD
CG
=
AB
CG
=
3EH
2EH
=
3
2

故答案为:AB=3EH;CG=2EH;
3
2


(2)如右图2所示,作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB.
AB
EH
=
AF
EF
=m,∴AB=mEH.
∵AB=CD,∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG.
CG
EH
=
BC
BE
=2,∴CG=2EH.
CD
CG
=
mEH
2EH
=
m
2

故答案为:
m
2


(3)如右图3所示,过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则有EH∥AB∥CD.
∵EH∥CD,∴△BCD∽△BEH,
CD
EH
=
BC
BE
=n,∴CD=nEH.
AB
CD
=m,∴AB=mCD=mnEH.
∵EH∥AB,∴△ABF∽△EHF,
AF
EF
=
AB
EH
=
mnEH
EH
=mn,
故答案为:mn.