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过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点的切线相交于P,则S△PABmin=()A.16B.8C.4D.2
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过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点的切线相交于P,则S△PABmin=( )
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
▼优质解答
答案和解析
抛物线y2=4x焦点为(1,0),
设抛物线y2=4x的点(m,n),
由2yy′=4,即有y′=
,
即切线的方程为y-n=
(x-m),
由于n2=4m,即有ny=2(m+x).
若直线l:x=1,则交点A(1,2),B(1.-2),
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-(x-1),
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形;
若直线AB的斜率为k,即有AB:y=k(x-1),(k≠0),
联立y2=4x,消去x,可得
y2-y-k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4.
则有切线的斜率为
,
,
且
•
=
=-1,
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形.
∴由抛物线的几何性质可得,过A,B两点的切线的交点P在抛物线的准线上,
设直线AB与x轴的夹角为θ,由抛物线的性质可得:|AB|=
.
且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴,设AB中点为M,
则|PM|=
|AB|=
.
P到AB的距离为|PM|sinθ=
.
∴S△PAB=
|AB|•
=
.
当sinθ=1时,△ABQ的面积有最小值,最小值为p2=4.
故选:C.
设抛物线y2=4x的点(m,n),
由2yy′=4,即有y′=
2 |
y |
即切线的方程为y-n=
2 |
n |
由于n2=4m,即有ny=2(m+x).
若直线l:x=1,则交点A(1,2),B(1.-2),
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-(x-1),
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形;
若直线AB的斜率为k,即有AB:y=k(x-1),(k≠0),
联立y2=4x,消去x,可得
k |
4 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4.
则有切线的斜率为
2 |
y1 |
2 |
y2 |
且
2 |
y1 |
2 |
y2 |
4 |
y1y2 |
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形.
∴由抛物线的几何性质可得,过A,B两点的切线的交点P在抛物线的准线上,
设直线AB与x轴的夹角为θ,由抛物线的性质可得:|AB|=
2p |
sin2θ |
且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴,设AB中点为M,
则|PM|=
1 |
2 |
p |
sin2θ |
P到AB的距离为|PM|sinθ=
p |
sinθ |
∴S△PAB=
1 |
2 |
p |
sinθ |
p2 |
sin3θ |
当sinθ=1时,△ABQ的面积有最小值,最小值为p2=4.
故选:C.
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