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过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点的切线相交于P,则S△PABmin=()A.16B.8C.4D.2

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过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点的切线相交于P,则S△PABmin=(  )

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

▼优质解答
答案和解析
抛物线y2=4x焦点为(1,0),
设抛物线y2=4x的点(m,n),
由2yy′=4,即有y′=
2
y

即切线的方程为y-n=
2
n
(x-m),
由于n2=4m,即有ny=2(m+x).
若直线l:x=1,则交点A(1,2),B(1.-2),
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-(x-1),
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形;
若直线AB的斜率为k,即有AB:y=k(x-1),(k≠0),
联立y2=4x,消去x,可得
k
4
y2-y-k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4.
则有切线的斜率为
2
y1
2
y2

2
y1
2
y2
=
4
y1y2
=-1,
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形.
∴由抛物线的几何性质可得,过A,B两点的切线的交点P在抛物线的准线上,
设直线AB与x轴的夹角为θ,由抛物线的性质可得:|AB|=
2p
sin

且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴,设AB中点为M,
则|PM|=
1
2
|AB|=
p
sin

P到AB的距离为|PM|sinθ=
p
sinθ

S△PAB=
1
2
|AB|
p
sinθ
=
p2
sin

当sinθ=1时,△ABQ的面积有最小值,最小值为p2=4.
故选:C.