某工厂每日生产某种产品x（x≥1）吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当1≤x≤20时，每日的销售额y（单位：万元）与当日的产量x满足y=alnx+b，当日产量超过20吨

Question

某工厂每日生产某种产品x（x≥1）吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当1≤x≤20时，每日的销售额y（单位：万元）与当日的产量x满足y=alnx+b，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况．已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元．
（1）把每日销售额y表示为日产量x的函数；
（2）若每日的生产成本c(x)=(1)/(2)x+1（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．（注：计算时取ln2=0.7，ln5=1.6）

Answer 1

（1）因为x=2时，y=4.5，所以0.7a+b=4.5①，
当x=4时，y=8，所以1.4a+b=8②，
由①②解得a=5，b=1，所以当1≤x≤20时，y=5lnx+1．…（4分）
当x=20时，y=ln20+1=5×（2ln2+ln5）+1=5×（1.4+1.6）+1=16．
所以y=

5lnx+1，1≤x≤20

16，x>20

．…（6分）
（2）当日产量为x吨时，每日利润为l（x），则l(x)=y-c(x)=

5lnx-(1)/(2)x，1≤x≤20

15-(1)/(2)x，x>20

．…（8分）
①若1≤x≤20，则l′(x)=(5)/(x)-(1)/(2)=(10-x)/(2x)，
当1≤x<10时l′（x）>0；当10<x≤20时，l′（x）<0，
故x=10是函数在[1，20]内唯一的极大值点，也是最大值点，
所以l(x)max=l(10)=5ln10-(1)/(2)×10=6.5万元．…（11分）
②若x>20，则l(x)=15-(1)/(2)x，显然l(x)=15-(1)/(2)x单调递减，故l（x）<5．
结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元．…（12分）