已知双曲线过点P(-32，4)，它的渐近线方程为y=±43x（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求

Question

已知双曲线过点P (-3

2

，4) ，它的渐近线方程为 y=±(4)/(3) x
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F ₁ 和F ₂ 是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF ₁ |•|PF ₂ |=32，求∠F ₁ PF ₂ 的大小．

Answer 1

（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为 y=±(4)/(3) x ，
可设双曲线的方程为 (x2)/(9) -(y2)/(16) =λ，λ≠0；
双曲线过点P (-3

2

，4) ，将P的坐标代入可得λ=1；
则所求的双曲线方程为 (x2)/(9) -(y2)/(16) =1
（2）设|PF ₁ |=d ₁ ，|PF ₂ |=d ₂ ，则d ₁ •d ₂ =32，
又由双曲线的几何性质知|d ₁ -d ₂ |=2a=6，
∴d ₁ ² +d ₂ ² -2d ₁ d ₂ =36即有d ₁ ² +d ₂ ² =36+2d ₁ d ₂ =100，
又|F ₁ F ₂ |=2c=10，
∴|F ₁ F ₂ | ² =100=d ₁ ² +d ₂ ² =|PF ₁ | ² +|PF ₂ | ²
△PF ₁ F ₂ 是直角三角形，
∠F ₁ PF ₂ =90°．