设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0．a1a2a3…an…是有理数．

Question

设a_n是1²+2²+3²+…+n²的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0．a₁a₂a₃…a_n…是有理数．

Answer 1

证明：计算a_n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，发现：a₂₀=0，a₂₁=a₁，a₂₂=a₂，a₂₃=a₃，…
于是猜想：a_k+20=a_k，若此式成立，说明0．a₁a₂a_n是由20个数字组成循环节的循环小数，
即0．a₁a₂a₃…a_n…=0.

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1

540510455609506590

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0

．
下面证明：a_k+20=a_k．
令f（n）=1²+2²+…+n²，当f（n+20）-f（n）是10的倍数时，表明f（n+20）与f（n）有相同的个位数，
而f（n+20）-f（n）
=（n+1）²+（n+2）²+…+（n+20）²
=10（2n²+4²•n）+（1²+2²+…+20²）．
由前面计算的若干值可知：1²+2²+…+20²是10的倍数，故a_k+20=a_k成立，所以0．a¹a²aⁿ是一个有理数．